تبدیل فوریه در فیزیک و کاربرد ها

بررسی امواج سینوسی، تجزیه امواج و تبدیل فوریه از پایه

امواج سینوسی

حالت اول: موج y(t) دارای دامنه ی A و آرگومان شامل فرکانس امگا و زمان به علاوه یک تغییر فاز است. در این حالت، زمان متغیر است. بنابراین ، به عنوان مثال ، اگر فشار را در موقعیتی خاص در فضا به عنوان تابعی از زمان ، مانند یک صدا مورد اندازه گیری قرار دهیم،  این فشار ممکن است کم و زیاد شود. بنابراین امواج فشار به عنوان تابعی از زمان از یک موقعیت واحد عبور می کنند که معادله ی آن:

حالت دوم: می تواند موج سینوسی داریم دارای دامنه و آرگومان آن یک فرکانس فضایی (k) به علاوه یک تغییر فاز باشد. به عنوان مثال ، برای توصیف امواج اقیانوس، در یک لحظه از زمان، x متغیر بوده و در امتداد سطح اقیانوس قرار می گیرد و محور عمودی، ارتفاع اقیانوس H است که امواج بالا و پایین می روند. معادله ی آن:

• برای مشخص کردن یک موج سینوسی، به جهت، طول موج یا فرکانس، دامنه و تغییر فاز نیاز است.

جمع کردن امواج سینوسی

می دانیم که می توانیم امواج سینوسی را با هم جمع کنیم، به عنوان مثال:

• می توان بر عکس جمع کردن، می توان امواج سینوسی را از هم جدا کرد که به آن تجزیه فوریه یا تبدیل فوریه گفته می شود.

مثال: (تجزیه تابع مقابل)

فرض می کنیم تایع مقابل نشان دهنده چگالی الکترون به عنوان تابعی از موقعیت( مکان) است. بنابراین ، چگالی الکترون از اعداد نسبتاً زیاد ، به صفر می رسد و سپس دوباره به اعداد بالا می رسد. به طور مثال این تابع چگالی(تراکم) الکترون در یک بلور است به این معنی که این الگو از هر دو طرف به طور مشابه تا بینهایت ادامه دارد. تجزیه یعنی تبدیل این شکل موج پیچیده به یک سری امواج سینوسی که اگر آنها را جمع کنیم به همان شکل پیچیده اول تبدیل می شود. اولین ماده در این جا یک موج سینوسی با طول موج نامحدود است( طول موج بی نهایت). به همین دلیل ، موج سینوسی به صورت خطی مستقیم در وسط است. چون مقدار متوسط(چگالی متوسط) ​​را اندازه گیری می کند، بالاتر از مبدا قرار دارد.

موج سینوسی بعدی که در این شکل موج پیچیده جاسازی شده است، موج بنیادی نامیده می شود و طول موج آن برابر با دوره اصلی در شکل پیچیده است. این تابع بارها و بارها با همان الگوی خود تکرار می شود. در شکل پیچیده مقدار دوره a است. دامنه ی این موج را متناسب با دامنه شکل پیچیده انتخاب می کنیم.

موج سینوسی بعدی که در آنجا جاسازی شده است، دارای یک طول موجی به اندازه نصف دوره شکل پیچیده است. این موج در طول دوره دو بار نوسان می کند. با وجود این موج، باز هم برخی از تراکم های اضافی در شکل پیچیده وجود دارد. بنابراین باید موج دیگری نیز اضافه کنیم تا شکل پیچیده اصلی درست شود. این موج سینوسی باید دارای دو نوسان در هر جعبه، دامنه کوچک و مقداری اختلاف فاز باشد.

موج سینوسی دیگری که باید اضافه شود، موجی سینوسی با طول موجی به اندازه یک سوم اندازه جعبه است. یعنی، باید سه بار در آن نوسان کند. همچنین مقدار دامنه و اختلاف فاز باید طوری انتخاب شود کمبود های این سه جمع را جبران کند.

بنابراین با جمع کردن این سه موج، دوباره شکل پیچیده، به دست می آید.

• منظور از تبدیل فوریه یا تجزیه فوریه این است که یک شکل موج پیچیده را به صورت امواج سینوسی جداگانه تجزیه می شود.

کاربرد:

موسیقی: زمانی که آکورد پیانو نواخته می شود، مجموعه خاصی از نت ها را برای آکورد انتخاب می شود. وقتی کلیدها فشرده می شوند، چکش ها رشته هایی را به گونه ای که هنگام برخورد ، با فرکانس مشخصی شروع به نوسان می کنند، می کشند و باعث تولید امواج فشار در هوا می شوند. این امواج فشار در هوا ترکیب شده و به عنوان الگوی بسیار پیچیده ای به گوش می رسند. گوش تبدیل فوریه انجام می دهد تا آن موج فشار پیچیده را به نت های تشکیل دهنده آن تجزیه کند.

این عمل در ساختاری به نام حلزون شنوایی اتفاق می افتد که لوله ای است که قطرش کوچکتر و کوچکتر می شود. در کنار این لوله نورون های شنوایی وجود دارد که در موقعیت های مختلف در امتداد لوله به هم متصل شده اند. این امواج فشار از سیال عبور می کنند و باعث می شود فرکانس ها تشدید شده و سیگنال های تشدید در قطرهای مختلف لوله ساخته شوند. هر نت مختلف، ممکن است یک نورون شنوایی متفاوت را در پایین لوله تحریک کنند. بنابراین اساساً ، وقتی نت ها با پیانو نواخته می شوند، امواج فشار متفاوت تولید شده، در فضا به یک الگوی پیچیده واحد می سازند. این الگوی پیچیده به گوش می آید و گوش، آن را به تمام نت های موجود در آن، تجزیه می کند. این همانند تبدیل فوریه است. زیرا هر یک از این نت ها مانند موج سینوسی است و این امواج سینوسی می توانند در فضا جمع شوند.

• تجزیه فوریه ممکن است دقیق نباشد. هر تابع دوره ای می تواند به یک سری امواج سینوسی تجزیه شود.

تابع پله ای

واضح است که تابعی مانند شکل روبرو اصلاً شبیه موج سینوسی نیست. برای تجزیه آن باید موج سینوسی را انتخاب کنم که تا ماکسیمم این پله افزایش یابد و سپس سقوط کند. و همچنین مینیمم آن باید به اندازه ی پایین ترین سطح پله باشد. این تقریب خوبی برای تابع پله ای نیست. موج سینوسی که برای تخمین آن استفاده می شود، باید دارای طول موجی برابر با  فاصله دوره تابع پله باشد.

حال اگر از دو موج سینوسی برای تخمین این تابع  پله استفاده شود، داریم:

این موج سینوسی در طول دوره، دارای سه طول موج است. این باعث کاهش خطا در تقریب می شود. بنابراین اگر اولین موج سینوسی موج سینوسی دوم را اضافه کنیم ، مجموع آن ها برای تقریب تابع پله دقیق تر است. اما هنوز هم نیاز است که موج دیگری اضافه شود. موجی که باید اضافه شود باید دارای طول موجی باشد که در طول دوره پنج بار نوسان می کند.

موج بعدی می تواند، موجی با طولی باشد که در طول دوره، دارای هفت طول موج است.

بنابراین اگر این امواج به یکدیگر اضافه شوند، به شکل اصلی نزدیکتر می شود. تئوری این است که اگر بتوان تعداد بی نهایت امواج سینوسی اضافه کرد، هر کدام با فرکانس بالاتر و بالاتر، در نهایت می توان هر شکل موجی را که به صورت دوره ای است، دقیقاً تولید کرد. این سوال مطرح می شود که در هر شرایط مختلف از کدام امواج سینوسی باید استفاده کرد و تغییرات دامنه و فاز آنها چگونه باید باشد؟ هر تابع f(x) که به صورت دوره ای است، را می توان به یک سری سینوس و کسینوس تجزیه کرد. یک موج مسطح با طول موج بی نهایت که مقدار متوسط تابع را می دهد، وجود دارد.

برای تولید مجدد کامل هر تابع متناوبی، باید بتوان تعداد بی نهایت امواج سینوسی را شامل شود. بنابراین جمع از 1 تا بی نهایت است، تعداد بی نهایت امواج سینوسی که هر کدام دامنه خاص خود را دارند. می توان این کار را برای هر مقداری از m انجام داد. با این روش می توان فهمید که در هر موج پیچیده چند موج سینوسی وجود دارد.

منبع:

https://www.coursera.org/lecture/cryo-em/1-d-sine-waves-and-their-sums-78uHF

گردآورنده: صبا طاهرپور