قضیه حد مرکزی (Central Limit Theorem) یا به اختصار CLT یکی از قضیههای مهم و کاربردی در نظریه آمار است. به کمک این قضیه ارتباط بین متغیرهای تصادفی با توزیعهای مختلف گاوسی و توزیع نرمال بیان میشود. به این صورت که تحت شرایط خاصی میانگین تعداد زیادی متغیر تصادفی مستقل، هر یک با مقدار چشمداشتی و واریانس مشخص، بطور تقریبی دارای توزیع نرمال خواهد بود. به عبارت دیگر، قضیه حد مرکزی میگوید که یک سری از چند متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکسان، به سمت یک متغیر تصادفی مشخص میل میکند.
قضیه حد مرکزی: اگر 
متغیر های تصادفی مستقل با میانگین 𝛍 و واریانس 𝛔2 باشند و اگر 
باشد، آنگاه: 
به سمت توزیع 
میل خواهد کرد، اگر n به سمت بینهایت میل کند.
جمع n متغیر تصادفی مستقل تقریبا نرمال خواهد بود، بدن اینکه نیازی به در نظر گرفتن توزیع هر یک از متغیر ها باشد. هر چه اندازه نمونه n افزایش یابد، نتیجه حاصل از این تقریب بهتر خواهد شد.
شرایط استفاده از قضیه حد مرکزی :
- متغیرهای تصادفی دارای توزیع یکسان باشند. به این معنی که علاوه بر هم خانواده بودن توزیع متغیرها باید پارامترهای یکسانی داشته باشند. البته ممکن است این پارامترها از قبل مشخص نباشند.
- متغیرهای تصادفی باید از یکدیگر مستقل باشند. از آنجایی که اثبات این قضیه بوسیله تابع مشخصه انجام میشود، باید بتوان توزیع توام متغیرها را به صورت حاصلضرب توزیعها نوشت. از آنجایی که این کار در صورت استقلال متغیرها امکانپذیر است، یکی از شرایط مهم در قضیه حد مرکزی مستقل بودن متغیرهای تصادفی در نظر گرفته شده است.
- متناهی بودن واریانس نیز از شرایط دیگر و مهم برای قضیه حد مرکزی است. اگر واریانس متغیرهای تصادفی ثابت و متناهی نباشند، قضیه حد مرکزی اعتبار خود را از دست خواهد داد و ممکن است مجموع دنبالهای از متغیرهای تصادفی به یک توزیع پایدار دیگر میل کند.
کاربرد ها:
تالیف: صبا طاهرپور
منابع: https://blog.faradars.org
http://www.sitpor.org
اولین باشید که نظر می دهید